Dann gehen wir weiter zur nächsten Teilaufgabe.

Teilaufgabe B.

Da war gegeben, wir haben eine Diagonalmatrix D

mit Einschrägen L1 bis Ln auf der Diagonal.

Und diese Diagonaleinschräge sind alle größer als 0.

Und jetzt sollten wir zeigen, dass wenn wir das Skalarprodukt von Dx mit Y nehmen, dass auch das wieder ein Skalarprodukt ist.

Hier D mal X, das ist einfach die normale Matrixvektor-Multiplikation.

Das heißt, das hier ist ein Vektor mit N.

Das hier ist ein Vektor mit N, das hier ist dann einfach das normale Skalarprodukt von diesen beiden Vektoren.

Wieder das gleiche Spiel. Wir müssen halt alle Eigenschaften eines Skalarprodukts nachrechnen.

Fangen wir wieder an, damit zu zeigen, dass das Ganze positiv definiert ist.

Das heißt, wir gucken uns das Skalarprodukt von Dx mit X an.

Wir müssen zeigen, dass das größer als 0 ist und dass es genau dann 0 ist, wenn X gleich 0 ist.

Das Skalarprodukt können wir einfach ausschreiben.

Das ist die Summe von I gleich 1 bis L.

Li, also der i-tische Eintrag der Diagonalmatrix, mal Xi².

Xi² ist größer als 0, Li ist größer als 0. Das heißt, die Summe ist auf jeden Fall größer als 0.

Und da all diese Einträge Li echt größer als 0 sind, kann die Summe nur dann 0 werden, wenn alle Xi gleich 0 sind.

Damit haben wir die positive Definität gezeigt.

Als nächstes zeigen wir, dass das Ganze symmetrisch ist.

Wir gucken uns das Skalarprodukt von Dx mit Y an.

Wir wollen zeigen, dass das das gleiche ist wie das Skalarprodukt von Dx mit Y.

Das Skalarprodukt schreiben wir jetzt einfach mal aus.

Das ist einfach die Summe von I gleich 1 bis N.

I-tische Komponente von Dx mal die I-tische Komponente von Y.

Die I-tische Komponente von Dx können wir ausrechnen.

Das ist die Summe von J gleich 1 bis N.

Die Summe ist Dij mal Xj.

Jetzt wissen wir aber, dass das D eine Diagonalmatrix ist.

Das heißt, hier alle Einträge, die nicht auf der Diagonal liegen, also wenn I ungleich J ist, sind 0. Die fallen weg.

Das Ganze vereinfacht sich zur Summe von I gleich 1 bis N.

Li mal Xi mal Yi.

Hier in dem Produkt können wir Xi und Yi einfach vertauschen.

Wenn wir die ganze Rechnung noch mal rückwärts machen, sehen wir, dass das genau das Skalarprodukt von Dx mit Y ist.

Damit haben wir gezeigt, dass dieses Skalarprodukt symmetrisch ist.

Als letztes müssen wir...

Das hier soll Dij sein, also der Eintrag in der I-ten Zeile und der J-ten Spalte.

Das habe ich jetzt nur zur Veranschaulichung gemacht.

Du könntest auch direkt diese Summe hier hinschreiben.

Dann müssen wir noch die Linearität zeigen. Das heißt, wir gucken uns jetzt wieder eine Linearkombination von zwei Vektoren X1 und X2 an.

X1 plus Lambda mal X2.

Das Ganze im Skalarprodukt mit Y.

Das D ist eine Matrix. Hier können wir einfach eine normale Matrix-Vektor-Multiplikation machen.

Das ist D mal X1 plus Lambda D mal X2.

Jetzt können wir hier die Linearität des normalen Standards Skalarproduktes auf dem N ausnutzen, um das auseinander zu ziehen.

Dann haben wir das Skalarprodukt von Dx1 mit Y plus Lambda mal das Skalarprodukt von Dx2 mit Y.

Das ist genau das, was wir zeigen wollten. Damit kriegen wir die Linearität.

Das heißt, wir haben auch hier wieder gezeigt, dass alle Eigenschaften eines Skalarprodukts erfüllt sind.

Damit ist dieses Objekt hier ein Skalarprodukt.

Gibt es zu dieser Aufgabe noch weitere Fragen?